Quantum Algebra Days
a gathering of the ERC project DerSympApp

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November 3-4, 2020 (fully online)

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Speakers

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Léa Bittmann - Anneaux de Grothendieck quantiques, vers les types non simplement lacés

Cédric Bonnafé - Une nouvelle famille de singularités symplectiques isolées de groupe fondamental local trivial

Sophie Chemla - Calcul différentiel dans les algèbres de double Lie Rinehart

Chiara Esposito - [Formality, Redution]=0 ? First step

Bernhard Keller - Quantum Cartan matrices categorified
Jeremy Nusa - Quantification par déformation des algébroïdes de Lie, application de la formalité à deux branes (soutenance de thèse, non diffusée en-ligne)

Olivier Schiffmann - Algèbres de Hall cohomologique de courbes

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Practical information
 

The talks will take place on zoom. Link. The password is the first word of the title of the meeting, with the last two letters (and these only) being capitalized.

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Schedule
 

Tuesday 3 Nov

9h15-10h15 : Cédric Bonnafé (slides, video)
10h30-11h30 : Léa Bittmann (notes, video)
break

16:00-17:00 : Sophie Chemla (slides, video)

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Wednesday 4 Nov

9h00-10h00 : Chiara Esposito (video)

10h15-11h15 : Bernhard Keller (notes)

11h30-12h30 : Olivier Schiffmann (video)

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Abstracts

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Léa Bittmann - Les anneaux de Grothendieck de certaines catégories de représentations des algèbres affines quantiques admettent des t-déformations remarquables appelées anneaux de Grothendieck quantiques. Cette notion a été introduite en premier lieu grâce aux variétés de Carquois, pour les catégories de représentations de dimension finie, quand l'algèbre de Lie sous-jacente à l'algèbre affine quantique est simplement lacée. Cette construction a ensuite été généralisée aux types non simplement lacés de façon algébrique. On s'intéressera ici à une certaine catégorie O^+ de représentations, et nous verrons comment l'anneau de Grothendieck quantique de cette catégorie peut être défini par une approche combinatoire, comme une algèbre amassée quantique. On discutera en particulier de cette construction pour les types non simplement lacés.

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Cédric Bonnafé - Dans son article introduisant les singularités symplectiques, Beauville classifie celles qui sont isolées et dont le cône tangent projectif est lisse : ce sont les adhérences d'orbites nilpotentes minimales des algèbres de Lie simples. La question de la classification des singularités symplectiques n'a pas été beaucoup étudiée, même dans le cas isolé. Pour éviter des constructions évidentes à base de quotients par des groupes finis, Beauville pose la question naturelle de l'existence de singularités symplectiques isolées de groupe fondamental local trivial, autres que les adhérences d'orbites nilpotentes minimales des algèbres de Lie simples de type différent de $C$. Nous répondons ici par l'affirmative, en considérant les déformations (espaces de Calogero-Moser) des singularités symplectiques $(V \times V^*)/W$, où $V$ est un espace vectoriel de dimension $2$ et $W$ est un groupe diédral.

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Sophie Chemla - La théorie des algébroïdes de Lie permet de voir de facon unifiée la cohomologie de de Rham, la cohomologie de Cartan-Eilenberg et la cohomologie de Poisson-Lichnerowicz. Dans le cas ou l'algèbre de base n'est plus nécessairement commutative, la cohomologie de de Rham est remplacée par la cohomologie de Karoubi-de Rham, la notion d'algèbre de double Poisson a été définie par Van den Berg et une cohomologie lui a été associée par Pichereau-Van de Weyer. Nous développerons un calcul différentiel sur les algèbres de double Lie Rinehart, ce qui nous permettra de voir de facon unifiée la cohomologie de Karoubi-de Rham et la cohomologie de double-Poisson.

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Chiara Esposito - In this talk we propose a reduction scheme for multivector fields phrased in terms of L-infinity-morphisms. First, using geometric properties of the reduced manifolds we perform a Taylor expansion of multivector fields, which allows us to built up a suitable deformation retract of DGLA’s. As a second step, we contruct a Poisson analogue of Cartan model for equivariant de Rham cohomology. As a consequence we prove the existence of a curved L-infinity morphism between equivariant multivector fields and multivector fields on the reduced manifolds that coincides with the standard Marsden-Weinstein reduction.

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Bernhard Keller - Quantum Cartan matrices and their inverses are of interest in the representation theory of quantum affine algebras and in the description of the subregular summand in Lusztig's asymptotic Hecke algebra J. We show how to categorify them for ADE Dynkin diagrams using bigraded Calabi-Yau completions (aka bigraded Ginzburg dg algebras aka non commutative circle equivariant cotangent bundles). In particular, we recover a formula due to Hernandez-Leclerc (2015) and Fujita (2019) expressing the inverse quantum Cartan matrix in terms of the derived category of any orientation of the Dynkin diagram. We will end by discussing the problem of obtaining analogous results in the non simply laced case. -    

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Olivier Schiffmann - Soit S une surface lisse et C une courbe lisse dans S. On peut associer à cette donnée une algèbre qui encode les modifications, le long de C, de faisceaux cohérents sur S : c'est l'algèbre de Hall (cohomologique, dans le contexte qui nous intéresse). C'est une chose de définir une algèbre, c'en est une autre de la calculer explicitement ! Dans cet exposé nous expliquerons un travail en cours (en collaboration avec Diaconescu, Sala et Vasserot) dans lequel nous explicitons cette algèbre dans le cas où C est une chaine de courbes rationnelles d'auto-intersection -2. On finira par quelques conjectures dans le cas où C est une courbe elliptique.

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